스틱맨과 함께 배우는 정규 분포 — 종 모양 곡선과 표준화를 초등학생도 쉽게

📊 스틱맨의 확률 대모험 · 2편

🔔 정규 분포

O/X 문제 1000번 풀면 어떻게 될까? 📝

📖 1편을 아직 못 봤나요? → 1편: 베르누이 & 이항 분포 보러가기

🔁

1편 복습 — 이항 분포 기억해요? 📊

⚡ 1편 핵심 요약

📝

베르누이 분포 = O/X 문제 딱 1개
결과가 정답 or 오답, 딱 두 가지!

📊

이항 분포 = 베르누이를 n번 반복
n × p = 평균 정답 수

🤔

오늘의 질문: n을 아주 크게 하면?
1000번, 아니 무한번 반복하면 어떻게 될까?

1

막대가 점점 많아지면? 📈

STEP 1O/X 문제를 많이 풀수록 막대가 늘어나요!

이항 분포에서 n(문제 수)을 늘릴수록
막대그래프의 막대가 점점 많아지고 촘촘해져요!

📊 n = 5문제 (p=0.5)

0개

1개

2개

3개 🏆

4개

5개

막대 6개 — 아직 듬성듬성해요

📊 n = 10문제 (p=0.5)

막대 11개 — 조금씩 종 모양이 보여요! 🔔

📊 n = 아주 많이! (p=0.5)

막대가 촘촘해져서 곡선처럼 보여요! 🔔

💡 핵심! n이 커질수록 이항 분포의 막대가 촘촘해지다가
결국 매끈한 종 모양 곡선 = 정규 분포가 돼요!

2

정규 분포란? 🔔

왜 종 모양이
되는 거예요?

학생이 궁금해해요!

딱 반이나 전부 맞히기보다
절반 근처가 제일 많이
나오기 때문이에요! 🔔

선생님이 설명해요!

🔔 정규 분포란?

데이터가 평균 근처에 제일 많이 몰려있고,
평균에서 멀어질수록 점점 적어지는 분포예요!
그래프가 종(🔔) 모양이라서 "종형 분포"라고도 불러요.

🗺️ 정규 분포 곡선

🔔 가운데가 가장 볼록!

양쪽으로 갈수록 낮아져요

좌우가 대칭이에요!

예1

📝 예제: 반 친구들의 O/X 시험 점수!

O/X 10문제 시험!
우리 반 30명이 봤어요 📝

👥📝

30명의 점수를 모아봐요!

2점

4점

5점

6점

7점🏆

8점

9점

10점

7점이 가장 많아요 → 종 모양!

점수 분포가 종 모양이에요! 🔔

점수	학생 수	비율	특징
2~4점	2명	6.7%	아주 적어요
5~6점	8명	26.7%	꽤 있어요
7점 🏆	12명	40%	가장 많아요!
8~9점	7명	23.3%	꽤 있어요
10점	1명	3.3%	아주 드물어요

💡 평균(7점) 근처에 가장 많이 몰려 있고, 평균에서 멀어질수록 (2점, 10점) 점점 적어져요. 이게 바로 정규 분포!

3

정규 분포의 두 가지 친구 🔑

🔑 정규 분포를 결정하는 두 가지!

정규 분포의 모양은 딱 두 가지 숫자로 결정돼요!

🎯 ① 평균 (μ, 뮤) 종 모양의 가운데

"보통 몇 개 맞히나?"를 나타내는 수예요.
평균이 바뀌면 종 모양이 왼쪽/오른쪽으로 이동해요!

평균 5점

→

평균 8점 (오른쪽 이동)

📏 ② 표준편차 (σ, 시그마) 종 모양의 넓이

"점수들이 평균에서 얼마나 흩어져 있나?"를 나타내요.
σ가 작으면 → 홀쭉한 종 🔔
σ가 크면 → 납작한 종 🫓

σ 작음 → 홀쭉

점수 차이 적어요

vs

σ 큼 → 납작

점수 차이 많아요

🎚️ 직접 조절! 정규 분포 그래프

평균 μ = 6

표준편차 σ = 1.5

평균 μ=6점 중심으로 종 모양을 이뤄요!

4

정규 분포의 마법 법칙! ✨

✨ 68 — 95 — 99.7 법칙

정규 분포에는 신기한 법칙이 있어요!
평균에서 얼마나 떨어졌는지에 따라
몇 %의 데이터가 들어오는지 항상 똑같아요!

범위	포함 비율	쉽게 설명하면
μ ± 1σ	약 68%	3명 중 2명꼴!
μ ± 2σ	약 95%	20명 중 19명꼴!
μ ± 3σ	약 99.7%	거의 모든 데이터!

💡 시험 점수가 평균 70점, σ=10점이면
→ 60~80점 사이에 학생의 68%가 있어요!
→ 50~90점 사이에는 95%가 있어요!

5

표준화: "키 맞추기 대작전" 📐

개념📐 표준화가 뭐예요?

🤔 이런 상황이에요!

📝

수학 시험

스틱맨: 80점
반 평균: 60점
σ = 10점

📋

영어 시험

스틱맨: 90점
반 평균: 85점
σ = 5점

🤔 수학 80점 vs 영어 90점...
어떤 시험을 더 잘 본 걸까요?

단순히 점수만 보면 비교가 어려워요!
표준화는 서로 다른 시험을 같은 기준으로 바꿔주는 과정이에요.

📐 Z점수 공식

Z = (내 점수 − 평균) ÷ σ

Z점수 = 내가 평균보다 σ 몇 개만큼 앞서 있나?

📝 수학 Z점수 계산

Z = (80 − 60) ÷ 10 = +2.0
→ 평균보다 2σ 위! 상위 약 2.5%

📋 영어 Z점수 계산

Z = (90 − 85) ÷ 5 = +1.0
→ 평균보다 1σ 위! 상위 약 16%

🏆 결론!

수학 Z=2.0 > 영어 Z=1.0
→ 수학을 더 잘 본 거예요!
점수는 낮아도 상대적으로 훨씬 잘한 것!

💡 Z점수가 양수(+)이면 평균보다 높고,
음수(-)이면 평균보다 낮아요!
Z=0이면 정확히 평균이에요.

Z점수	의미	상위 몇%	예시
Z = -2	평균보다 한참 아래	하위 2.5%	많이 어려웠어요
Z = -1	평균보다 조금 아래	하위 16%	평균 이하예요
Z = 0	딱 평균!	상위 50%	정확히 평균!
Z = +1	평균보다 조금 위	상위 16%	잘했어요!
Z = +2	평균보다 한참 위	상위 2.5%	아주 잘했어요!

✏️

이해도 확인 퀴즈 5문제!

오늘 배운 정규 분포, 얼마나 이해했는지 확인해봐요! 😊

Q1정규 분포 그래프는 어떤 모양인가요?

Q2정규 분포에서 데이터가 가장 많이 몰려있는 곳은?

Q3정규 분포의 모양을 결정하는 두 가지는?

Q4평균 μ=70, σ=10인 정규 분포에서
60~80점 사이에 있는 학생은 약 몇 %인가요?

Q5수학 시험 점수 Z = +2가 의미하는 것은?

🎉

🕺 스틱맨의 오늘 정리!

🔔정규 분포 = 이항 분포를 아주 많이 반복하면 생기는 종 모양 곡선!

🎯평균(μ) = 종 모양의 가운데 꼭대기 위치. 데이터가 가장 많은 곳!

📏표준편차(σ) = 종 모양의 넓이. 작으면 홀쭉, 크면 납작!

✨68-95-99.7 법칙 = μ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%, ±3σ 안에 99.7%!

📐Z점수(표준화) = (내 점수 − μ) ÷ σ. 서로 다른 시험을 같은 기준으로 비교!

📏 3편 예고: "선생님의 고민 — 표본평균 & t분포"

스틱맨이 이번엔 선생님이 됐어요!
전교생 데이터 없이 우리 반만으로 전교 평균을 추측할 수 있을까요?
표본평균과 t분포의 비밀을 파헤쳐요! 📊

1편 📝 베르누이&이항

2편 🔔 정규분포

3편 📏 t-분포

4편 🔀 카이제곱

5편 🎯 포아송

6편 ⏱️ 지수분포

7편 🏆 총정리